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ORIGEN DE LA GEOMETRIA.
SE CUENTA QUE ANTIGUAMENTE EN EGIPTO, LAS AGUAS DEL RIO NILO CRECIAN Y SUBIAN SU NIVEL BORRANDO LOS LIMITES DE LOS TERRENOS; ERA NECESARIO QUE CADA NOCHE, LOS DUEÑOS DE LAS TIERRAS VOLVIERAN A MEDIR Y A MARCAR SUS TERRENOS. LOS EGIPCIOSHABIAN DESARROLLADOUNA GRAN HABILIDAD EN “ EL ARTE DE MEDIR LA TIERRA”
INVENTARONPROCEDIMIENTOS Y TÉCNICAS QUE SE FUERON TRANSMITIENDO DE GENERACIÓN E N GENERACIÓN. ESTOS CONOCIMIENTOS DESARROLLADOS POR LOS EGIPCIOS LLEGARON A OTROS PUEBLOS, EN PARTICULAR A LOS GRIEGOS QUIENES ESTUDIARON “ EL ARTE DE MEDIR LA TIERRA” QUE EN GRIEGO SE DICE GEOMETRÍA, Y SE DIERON CUENTA DE QUE EN LAS TÉCNICAS EGIPCIAS HABIA PRINCIPIOS GENERALES QUE INVAN MAS ALLA DE LOS TERRENOS Y SUS MEDIDAS, ERAN PRINCIPIOS QUE TENIAN QUE VER CON LAS RELACIONES Y PROPIEDADES QUE EXISTEN ENTRE CIERTAS FORMAS Y FIGURAS.
ENTRE LOS SIGLOS VI Y IV AC. FLORECIO EN GRACIA LA ESCUELA CIENTÍFICA Y FILOSOFICA MAS IMPORTANTE DE SU EPOCADE ENTRE SUS MUCHOS REPRESENTANTES HAY QUE MENCIONAR A EUCLIDES. PITÁGORASY TALES DE MILETO. LOS GRIAGOS NO SE LIMITARON A OBSERVAR ALGUNAS RELACIONES INTERESANTES ENTRE LOS NUMEROS Y LAS FIGURAS GEOMÉTRICAS O A USARLAS EN SUS MEDICIONESY COSTRUCCIONES PARA RESOLVER PROBLEMAS DE CALCULO; FUERON OS PRIMEROS EN DARCE CUENTA DE LA IMPORTANCIA DE ENCONTRAR ENUNCIADOS GENERALES Y DEMOSTRARLOS. PENSABA EN AREAS Y VOLÚMENES ABTRACTOS. DELIMITANDO POR LINEAS ABSTRACTAS Y CUYAS RELÑACIONES Y PROPIEDADES SE CUMPLIAN SIEMPRE.
LA GEOMETRÍA CLÁSICA FUE LA PRIMERA RAMA DE LAS MATEMÁTICAS Y SE CONSOLIDO GRACIAS AL TRABAJO DE EUCLIDES “LOS ELEMENTOS” REUNIO TODO EL CONOCIMIENTO MATEMÁTICO DE SU EPOCAY LO FORMALIZO. LA GEOMETRÍA SE CONFORMO ASI COMO UN SISTEMA DE ENUNCIADOS QUE SE DEMUESTRAN A PERTIR DE 5 POSTULADOS CONCIODERADOS COMO VERDADES EVIDENTES Y QUE SE LLAMAN AXIOMAS.
AL PROFUNDIZAR EN LOS ESTUDIOS DE LA GEOMETRÍA, LOS GRIEGOS DEJARON DE PREOCUPARCE POR LAS APLICACIONES PRACTICAS DE LOS CONOCIMIENTOS QUE DESARROLLABAN. SUS INDAGACIONES ESTABAN GUIADAS POR UNA PASIÓN POR EL CONOCIMIENTO Y EL PLACER ESTETICO.



EGIPTO:

LOS EGIPCIOS ATRIBUYERON A REVELACIÓN DE KLOS DIOSES ELÑ ORIGEN DE TODOS LOS CONOCIMIENTOS.
EN ARIRMETICA: LOS EGIPCIOS ESTABAN EN NIVEL DE LOS CALDEOS, CONTABAN SIGUIENDO UNA NUMERACIÓN DECIMAL.
EN GEOMTRIA: EL DOCUMENTO MAS ANTIGUO ES EL PAPIRO EN EL QUE SE DAN LAS REGLAS PARA MEDIR, MULTIPLICACIONES A BASE DE SUMAS REPETIDAS Y DETALLES SOBRE CANTIDADES FRACCIONARIAS.





TALES DE MILETO:
FILOSOSFO Y METEMATICO GRIEGO.
EN SU JUVENTUD VIAJO A EGIPTO DONDE APRENDIO LA GEOMETRIADE LOS SACERDOTES DE MENFIS Y ASTRONOMIA.
FUE MAESTRO DE PITÁGORAS Y ANAXIMIDES.
FUE EL PRIMER FILOSOSFO GRIEGO QUE INTENTO DAR UNA EXPLICACIÓN FÍSICA DEL UNIVERSO QUE PARA EL ERA UN ASPECTO RACIONAL DAR UNA EXPLICACIÓN FISISCA DEL UNIVERSO.
TALES SE PLANTIO LA SIGUINTE CUESTION: SI UNA SUSTANCIA PUEDE TRANSFORMARCE EN OTRA, COMO UN TROZO DE MINERAL AZULADO LO HACE EN COBRE ROJO ¿CUÁL ES LA NATURALEZA DE LA SUSTANCIA ?
FINALMENTE PENSO QUE ERA EL AGUA PUES ES LA QUE SE ENCUENTRA EN MAYOR CANTIDAD, RODEA LA TIERRA, IMPREGNA LA ATMÓSFERA EN FORMA DE VAPOR, CORRE ATRAVES DE LOS CONTINENTES Y LA VIDA NO ES POSIBLE SIN ELLA.
ESTA TECIS SOBRE LA EXISTENCIA DE UN ELEMENTO DEL CUAL ESTABAN FORMADAS TODAS LAS SUSTANCIAS COBRO GRAC ACEPTACIÓN ENTRE FILOSOFOS POSTERIORES A PESAR DE QUE NO TODOS ELLOS ACEPTARON QUE EL AGUA FUERA TAL ELEMENTO.
EN GEOMETRÍA Y EN BASE DE LOS CONOCIMIENTOS ADQUIRIDOS EN EGIPTO ELABORO UN CONJUNTO DE TEOREMAS GENERALES Y DE RAZONAMIENTOS DEDUCTIVOS A PARTIR DE ESTOS.

EUCLIDES:
MATEMÁTICO GRIEGO CUYA OBRA PRINCIPAL FUE: ELEMENTOS DE LA GEOMETRÍA ES UN EXTENSO TRATADO DE MATEMÁTICAS EN 13 VOLUMENES SOBRE ,MATERIALES COMO: GEOMETRÍA PLANA, PROPORCIONES EN GENERAL,Y GEOMETRÍA DEL ESPACIO.
PROBABLEMENTE ESTUDIO EN ATENAS CON DISIPULOS DE PLATON ENSEÑOI GEOMETRÍA EN ALEJANDRIA Y ALLI FUNDO UNA ESCUELA DE MATEMÁTICAS.
EUCLIDES HIZO VARIOS DESCUBRIMIENTOS EN LA TEORIA DE NUMEROS.
LOS ELEMENTOS DE EUCLIDES SE UTILIZARON COMO TEXTO DURANTE 2.000 AÑOS EN INCLUSO HOY, UNA VERSIÓN MODIFICADA DE SUS PRIMEROS LIBROS COSTITUYE LA BASE DE LA ENSEÑANZA DE LA GEOMETRÍA PLANA DE LAS ESCUELAS SECUNDARIAS.

PITÁGORAS:
FILOSOSFO MATEMÁTICO GRIEGO.
PITÁGORAS FUE HIJO DE: MNESCARCO Y QUE LA PRIMERA PARTE DE SU VIDA PASO EN SAMOS LA ISLA QUE PROBABLEMENTE ABANDONO UNOS AÑOS ANTES DE LA EJECUCIÓN DE SU TIRANO POLICRATES.
MARCHO DESPUÉS A BABILONIA CON CAMBISES PARA APRENDER ALLI LOS CONOCIMIENBTOS ARITMÉTICOS Y MUSICALES DE LOS SACERDOTES.
EL PITAGORISMO FUE UN ESTILO DE VIDA INSPIRADO EN UN IDEAL ACETICO Y BASADO EN LA COMUNIDAD DE BIENES CUYO PRINCIPAL OBJETIVO ERA LA PURIFICACIÓN RITUAL DE SUS MIEMBROS A TRAVES DEL CULTIVO DE UN SABNER EN EL QUE LA MUSICA Y LAS MATEMÁTICAS DESEMPEÑABAN UN PAPEL MUY IMPORTANTE.
PITÁGORAS FUE EL PRIMERO EN SU SENTIDO LITERAL DE <<AMOR A LA SABIDURÍA>>.
PITÁGORAS TRANSFORMO LAS MATEMÁTICAS EN UNA ENSEÑANZA LIBERAL MEDIANTE LA FORMULACION ABSTRACTA DE SUS RESULTADOS.


**FUNCIONES TRIGONOMETRICAS**



os = RADIO VECTOR

OM= ABSCISA

MS = ORDENADA


Con los tres segmentos definidos, se pueden obtener seis razones distintas, que se describen a continuación :

Seno: es la razón entre la ordenada y el radio del vector . Se abrevia sen.

Coseno: es la razón entre la abscisa y el radio del vector . Se abrevia cos.

Tangente : es la razón entre la ordenada y la abscisa . Se abrevia tg.

Cotangente: es la razón entre la abscisa y la ordenada . Se abrevia cotg.

Secante: es la razón entre el radio vector y la abscisa . Se abrevia sec.

Cosecante: es la razón entre el radio vector y la ordenada . Se abrevia cosec.

Si consideramos OMS como un triangulo rectángulo podemos designar los segmentos utilizando los siguientes nombres:






os =hipotenusa

OM= cateto adyacente

MS = cateto opuesto

Y así podemos definir las seis funciones trigonometricas para el OMS rectángulo.

Sen = cateto opuesto
Hipotenusa

Cos = cateto adyacente
Hipotenusa

Tg = cateto opuesto
Cateto adyacente

Cotag = cateto adyacente
Cateto opuesto

Sec = cateto opuesto
Cateto adyacente

Cosec = hipotenusa
Cateto opuesto
PERIMETRO
La medida del contorno de una figura geometría es el perímetro. El perímetro de una figura geométrica es igual a la suma de las medidas de sus lados.
El perímetro de las figuras geométricas equiláteras se obtiene multiplicando el numero de lados por la longitud de uno de sus lados. El área es el numero de unidades cuadradas que contiene una superficie.la unidad de las medidas de las medidas de la superficie es el m2 y entre los múltiplos y submúltiplos empleadosestan el mm2, cm2, dm2, km2.

“propiedades del perímetro”

1.-El perímetro de una figura se representa con un numero y la unidad de medida.

2.-Dos figuras congruentes tienen el mismo perímetro.

3.-El perímetro de una figura cualquiera es mayor que la medida de uno de sus lados.

ÁREA
La superficie es la parte de un cuerpo que se pueda ver o tocar. O también la región plana interior delimitada por un polígono o una curva cerrada.

El área es el resultado de la medida de una superficie. La unidad fundamental de medida para las áreas es el metro cuadrado, que se representa simbólicamente como m2

Las propiedades básicas del área son:

1.- el área de una superficie se representa con un numero y su unidad correspondiente.

2.-dos superficies congruentes tienen la misma área.

3.-el área de una superficie es mayor o igual que el área de cualquier región que contenga.

4.-el área de la unión de dos superficies diferentes es la suma de áreas de esas superficies.



FIGURA NOMBRE PERIMETRO AREA
TRIANGULOCUALQUIERA P=L+L+L A=b . h 2
CUADRADOO P=4P A=L2
RECTANGULO P=2(b+h) A=b . h
POLÍGONO REGULAR P=n.L A=P . a
CIRCULO P= dP=2 r A= d2 4A= r2

El área total de un prisma se puede obtener sumando el área lateral y el área de las bases.
Área total = área lateral + área de las bases

**VOLUMEN**
Todos los cuerpos ocupan un lugar en el espacio llamado volumen. Para calcular el volumen que ocupan los cuerpos regulares basta con multiplicar el área de la base por su altura.

La unidad fundamental para las medidas de volumen es el metro cúbico, cuyo símbolo es m3.

1.-el volumen es el espacio que ocupa un cuerpo.

2.-la capacidad es espacio o hueco que tiene el cuerpo o recipiente.

3.-la capacidad de un recipiente siempre será menor que su volumen.

4.-la capacidad de cuerpo geométrico hace mención ala cantidad de liquido que contiene un recipiente y esta cantidad esta determinada por las características geométricas del cuerpo.

5.-la unidad fundamental de la capacidad es el litro.

6.-la unidad fundamental de volumen es el m3.




longitud área volumen


**propiedades básicas del volumen**

Ø El volumen de un cuerpo se representa con un numero y la unidad de medida.
Ø Dos cuerpos con las mismas dimensiones tienen el mismo volumen.
Ø El de la unión de dos cuerpos distintos es la suma de los volúmenes de esos cuerpos.
Aritmética, literalmente, arte de contar. La palabra deriva del griego arithm&#275;tik&#275;, que combina dos palabras: arithmos, que significa ‘número’, y techn&#275;, que se refiere a un arte o habilidad.
Trigonometría, rama de las matemáticas que estudia las relaciones entre los lados y los ángulos de los triángulos. Etimológicamente significa ‘medida de triángulos’.
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Razones trigonométricas de ángulos agudos

La base de la trigonometría está en las razones trigonométricas, valores numéricos asociados a cada ángulo, que permiten relacionar operativamente los ángulos y lados de los triángulos. Las más importantes son seno, coseno y tangente, que se definen a continuación.

Resolución de triángulos

Las razones trigonométricas de ángulos agudos sirven para resolver triángulos rectángulos, es decir, para averiguar uno de sus elementos desconocidos a partir de algunos otros conocidos.

Por ejemplo, si se conoce la hipotenusa, h, y un ángulo a, se puede calcular el cateto opuesto, c, a ese ángulo, mediante el seno, puesto que al ser sen a = c/h se obtiene que c = h sen a.

Los teoremas del seno y del coseno permiten resolver triángulos oblicuángulos. Por ejemplo, si se quiere conocer el lado c de un triángulo del que se conocen los otros dos lados a y b, y el ángulo, C, opuesto al lado desconocido, el teorema del coseno permite calcularlo:

c2 = a2 + b2 – 2ab·cos C


O bien, si se conocen un lado, a, y los ángulos de un triángulo, se puede hallar otro lado, b, mediante el teorema del seno:



De aquí, despejando b se obtiene:


Funciones trigonométrica

Las funciones trigonométricas se obtienen a partir de las razones trigonométricas de la forma siguiente:

El ángulo se expresa en radianes. Por tanto, los 360º de una circunferencia pasan a ser 2p radianes.


Radián, en matemáticas, la unidad de ángulo igual al ángulo central formado por un arco de longitud igual al radio del círculo. La medida en radianes (rad) de un ángulo se expresa como el cociente entre el arco formado por el ángulo, con su vértice en el centro de un círculo, y el radio de dicho círculo. Este cociente es constante para un ángulo fijo cualquiera que sea el círculo sobre el que se tome.
Círculo, en geometría, superficie plana definida por una circunferencia. Aunque ambos conceptos están relacionados, no se debe confundir la circunferencia (curva) con el círculo (superficie).

De todas las figuras planas con igual perímetro, el círculo es la de mayor área. El cociente entre la longitud de una circunferencia y su diámetro es una constante que se representa como p, o pi. El área del círculo es igual a p multiplicado por el cuadrado del radio.



Circunferencia, en geometría, curva plana cerrada en la que cada uno de sus puntos equidista de un punto fijo, llamado centro de la circunferencia. No se debe confundir con el círculo (superficie), aunque ambos conceptos están estrechamente relacionados. La circunferencia pertenece a la clase de curvas conocidas como cónicas, pues una circunferencia se puede definir como la intersección de una superficie cónica con un plano perpendicular a su eje.

Pi, letra griega (p) usada en matemáticas como el símbolo del cociente entre la longitud de la circunferencia y su diámetro. El matemático griego Arquímedes afirmó correctamente que el valor de Pi se encuentra entre 3 + ‡ y 3 + Ť. El símbolo p fue usado por primera vez para representar esta razón en 1706 por el matemático inglés William Jones, pero su uso no se generalizó hasta su adopción por el matemático suizo Leonhard Euler en 1737. En 1882 el matemático alemán Ferdinand Lindemann demostró que p es un número trascendente —esto es, no puede ser la raíz de una ecuación polinómica con coeficientes racionales. De esta manera, Lindemann fue capaz de demostrar la imposibilidad de la cuadratura del círculo algebraicamente o usando la regla y el compás.

Seno (matemáticas), una de las razones trigonométricas.

En un triángulo rectángulo, el seno de un ángulo agudo a, que se designa por sen a, es igual a la longitud del cateto opuesto al ángulo dividida por la longitud de la hipotenusa.

El seno de un ángulo cualquiera se asigna mediante la circunferencia goniométrica. Es la ordenada del punto en que el segundo lado del ángulo la corta:



La función y = sen x describe la variación


Secante, la razón trigonométrica inversa del coseno. Se designa sec.


Los ángulos 90º y 270º no tienen secante puesto que cos 90º = 0 y cos 270º = 0.

Coseno, una de las razones trigonométricas.

En un triángulo rectángulo, el coseno de un ángulo agudo a, que se designa por cos a, es igual a la longitud del cateto adyacente al ángulo dividida por la longitud de la hipotenusa.

El coseno de un ángulo cualquiera se asigna mediante la circunferencia goniométrica. Es la abscisa del punto en que el segundo lado del ángulo la corta:



La función y = cos x describe la variación del coseno de ángulos medidos en radianes.

Hipotenusa, el lado opuesto al ángulo recto en un triángulo rectángulo.


Grado (matemáticas), en trigonometría, arco igual a 1/360 de la circunferencia de un círculo, o ángulo central que corresponde a dicho arco.
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Los grados se indican normalmente con el símbolo °, los minutos con &#8242; y los segundos con &#8242;&#8242;, como en 41° 18&#8242; 09&#8242;&#8242;, que se lee "41 grados 18 minutos y 9 segundos".






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Álgebra
1. Expresiones algebraicas
Expresión algebraica es la forma de las matemáticas que escribimos con letras, números, potencias y signos.
Coeficiente 3a2 Grado
Parte literal
Al número le llamamos coeficiente, a la letra o letras les llamamos parte literal y al exponente le llamamos grado.
Valor número de una expresión algebraica. Para hallar el valor numérico de una expresión algebraica sustituimos las letras por el valor dado y hacemos las operaciones que se nos indiquen.
Clases de expresiones algebraicas:
1ª- Si una expresión algebraica está formada por un solo término se llama monomio. Ej: 3x2
2ª- Toda expresión algebraica que esté formada por dos términos se llama binomio. Ej: 2x2 + 3xy
3ª- Toda expresión algebraica formada por tres términos se llama trinomio.
Polinomio es un conjunto de monomios. Tendremos en cuenta lo siguiente:
1º- Si está ordenado. Para ordenar un polinomio, colocamos los monomios de mayor a menor, según su grado.
2º- Si está completo. Completar un polinomio es añadir los términos que falten poniendo de coeficiente 0.
3º- Cuál es su grado. El grado de un polinomio es el mayor exponente de sus términos.
Expresiones algebraicas equivalentes: Dos o más expresiones algebraicas son equivalentes cuando tienen el mismo valor númerico.
Ejercicios operatorios con los monomios y polinomios
Suma o resta de monomios: Para sumar o restar monomios es necesario que sean semejantes. Monomios semejantes son aquellos que tienen la misma parte literal y el mismo grado. Ej: 2x3 + 5x3 - 6x3.
Para hacer la operación sumamos los coeficientes y dejamos la misma parte literal. Ej: 2x3 + 5x3 - 6x3 = x3.
Multiplicación de monomios: Para multiplicar monomios no es necesario que sean semejantes. Para ello se multiplican los coeficientes, se deja la misma parte literal y se suman los grados. Ej: 3xy.4x2y3= 12x3y4
División de monomios: Para dividir dos monomios, se dividen los coeficientes, se deja la misma parte literal y se restan los grados. Ej: 4x5y3:2x2y= 2x3y2
Suma de polinomios: Para sumar polinomios colocaremos cada monomio debajo de los que son semejantes y sumaremos sus coeficientes.
Ej: 7x5+0x4+3x3+4x2-2x
5x5+0x4+0x3 -x2 -x
12x5+0x4+3x3+3x2-3x
Multiplicación de polinomios: Para multiplicar polinomios haremos lo mismo que para multiplicar monomios, multiplicamos los coeficientes y sumamos los grados de las letras que son iguales.
Si son varios los polinomios que tenemos que multiplicar haremos lo mismo pero pondremos los que son semejantes debajo unos de otros y los sumaremos al final.
Ej: P(x)= 2x5+3x4-2x3-x2+2x
Q(x)= 2x3
P(x).Q(x)= 4x8+6x7-4x6-2x5+4x4
División de polinomios: Para dividir un polinomio y un monomio, ordenamos y completamos los polinomios, dividimos el primer monomio del dividendo por los monomios del divisor, multiplicamos el cociente por el divisor y se lo restamos del dividendo. Así sucesivamente.
Para dividir dos polinomios haremos lo mismo que para dividir monomios y polinomios, teniendo en cuenta que en el divisor nos encontraremos con 2 términos.
Las ecuaciones
· Ecuación y función
Ecuación es toda función algebraica igualada a 0 ó a otra igualdad algebraica. A la primera parte de la igualdad se la llama 1er término y a la segunda se la llama 2º término. Dos ecuaciones son equivalentes cuando tienen el mismo resultado.
Hay distintos tipos de igualdades:
Una igualdad numérica: 2+5=4+3
Una igualdad algebraica: 2x+3x=6x
Una función: 3x+2=y
Una función es una expresión algebraica igualada a y.
Sistemas de ecuaciones
Si una expresión algebraica la igualamos a otra expresión algebraica y nos encontramos con dos incógnitas necesitamos otra igualdad de expresiones algebraicas para poderla resolver.
Una expresión algebraica con dos incógnitas es lo que llamamos sistema de ecuaciones.
Todo sistema de ecuaciones necesita tantas ecuaciones como incógnitas tenga.
Sistema de ecuaciones con dos incógnitas:
Para resolver un sistema de ecuaciones podemos utilizar cuatro métodos:
1º- Método de sustitución.
2º- Método de igualación.
3º- Método de reducción o de sumas y restas.
4º- Método gráfico.
Resolver un sistema por el método de sustitución:
1º- Quitamos los paréntesis (si los hubiere) de las dos ecuaciones.
2º- Quitamos los denominadores (si los hubiere) de las dos ecuaciones.
3º- Pasamos las incógnitas al 1er miembro de la igualdad y los números al 2º miembro.
4º- Reducimos los términos semejantes.
5º- Despejamos una incógnita y la sustituimos en la 2ª ecuación.
6º- Resolvemos la ecuación resultante.
Resolver un sistema por el método de igualación:
1º- Quitar los paréntesis (si los hubiere) de las dos ecuaciones.
2º- Quitar los denominadores (si los hubiere) de las dos ecuaciones.
3º- Pasamos las incógnitas al 1er miembro de la igualdad y los números al 2º miembro.
4º- Despejar la misma incógnita en las dos ecuaciones.
5º- Igualar las incógnitas despejadas y resolver la ecuación resultante.
Resolver un sistema por el método de reducción o de sumas y restas:
1º- Quitamos los paréntesis (si los hubiere) de las dos ecuaciones.
2º- Quitamos los denominadores (si los hubiere) de las dos ecuaciones.
3º- Pasamos las incógnitas al 1er miembro de la igualdad y los números al 2º miembro.
4º- Igualar los coeficientes de una incógnita y cambiar de signo si son iguales.
5º- Sumar o restar el sistema que ha quedado al multiplicar y resolver la ecuación resultante.
P(x):Q(x)= 2x3-x2+3x-4
R= -4
FIGURAS PLANAS
AREAS

TRIÁNGULO




El triángulo es un polígono formado por tres lados y tres ángulos.
La suma de todos sus ángulos siempre es 180 grados.
Para calcular el área se emplea la siguiente fórmula:

Área del triángulo = (base . altura) / 2

CUADRADO

El cuadrado es un polígono de cuatro lados, con la particularidad de que todos ellos son iguales. Además sus cuatro ángulos son de 90 grados cada uno.
El área de esta figura se calcula mediante la fórmula:


Área del cuadrado = lado al cuadrado

RECTÁNGULO

El rectángulo es un polígono de cuatro lados, iguales dos a dos. Sus cuatro ángulos son de 90 grados cada uno.
El área de esta figura se calcula mediante la fórmula:

Área del rectángulo = base.altura

ROMBO

El rombo es un polígono de cuatro lados iguales, pero sus cuatro ángulos son distintos de 90ª.
El área de esta figura se calcula mediante la fórmula:

Área del rombo = (diagonal mayor.diagonal menor) / 2

TRAPECIO

El trapecio es un polígono de cuatro lados, pero sus cuatro ángulos son distintos de 90º.
El área de esta figura se calcula mediante la fórmula:
Área del trapecio = [(base mayor + base menor).altura] / 2

PARALELOGRAMO

El paralelogramo es un polígono de cuatro lados paralelos dos a dos.
El área de esta figura se calcula mediante la fórmula:

Área del paralelogramo = base.altura

PENTÁGONO

El pentágono regular es un polígono de cinco lados iguales y cinco ángulos iguales

El área de esta figura se calcula mediante la fórmula:

Área del pentágono = (perímetro.apotema) / 2


HEXÁGONO

El hexágono regular es un polígono de seis lados iguales y seis ángulos iguales.
Los triángulos formados, al unir el centro con todos los vértices, son equiláteros.


El área de esta figura se calcula mediante la fórmula:

Área del hexágono = (perímetro.apotema) / 2

CÍRCULO

El círculo es la región delimitada por una circunferencia, siendo ésta el lugar geométrico de los puntos que equidistan del centro.
El área de esta figura se calcula mediante la fórmula:


Área del círculo = 3'14.radio al cuadrado



CUERPOS CON VOLUMEN

CUBO

El cubo es un sólido limitado por seis cuadrados iguales, también se le conoce con el nombre de hexaedro
Para calcular su área lateral, su área total así como para ver su desarrollo pulsar sobre la figura anterior
Para calcular su volumen se emplea la siguiente fórmula:
Volumen del cubo = arista elevada al cubo

PRISMAS

Prisma regular es un cuerpo geométrico limitado por dos polígonos paralelos e iguales, llamados bases, y por tantos rectángulos como lados tenga cada base.

Para calcular su volumen se emplea la siguiente fórmula:


Volumen del prisma = área de la base . altura

A continuación están dibujados los prismas triangular, cuadrangular y hexagonal. Pulsando en cada una de ellas podremos observar el desarrollo de la figura correspondiente, así como las fórmulas para calcular el área lateral y total.


PIRÁMIDES

Pirámide regular es un sólido que tiene por base un polígono y cuyas caras son triángulos que se reúnen en un mismo punto llamado vértice.

Para calcular su volumen se emplea la siguiente fórmula:


Volumen de la pirámide = (área de la base . altura) / 3

A continuación están dibujados el tetraedro, la pirámide triangular y la cuadrangular. Pulsando en cada una de ellas podremos observar el desarrollo de la figura correspondiente, así como las fórmulas para calcular el área lateral y total.

Tetraedro: es una pirámide formada por cuatro triángulos equiláteros. Cualquier cara, por tanto, puede ser la base.



Pirámide triangular: la base es un triángulo equilátero y las caras laterales son triángulos isósceles.

Pirámide cuadrangular: aquí la base es un cuadrado, teniendo cuatro caras laterales.


CONO

El cono es el sólido engendrado por un triángulo rectángulo al girar en torno a uno de sus catetos.
Para calcular su área lateral, su área total así como para ver su desarrollo pulsar sobre la figura anterior
Para calcular su volumen se emplea la siguiente fórmula:
Volumen del cono = (área de la base.altura) / 3
CILINDRO

El cilindro es el sólido engendrado por un rectángulo al girar en torno a uno de sus lados.
Para calcular su área lateral, su área total así como para ver su desarrollo pulsar sobre la figura anterior
Para calcular su volumen se emplea la siguiente fórmula:
Volumen del cilindro = área de la base.altura

ESFERA

La esfera es el sólido engendrado al girar una semicircunferencia alrededor de su diámetro.
Para calcular su área se emplea la siguiente fórmula:

Área de la esfera = 4 .3'14.radio al cuadrado
Para calcular su volumen se emplea la siguiente fórmula:
Volumen de la esfera = 4/3 .3'14.radio al cubo

RECTAS Y ANGULOS
Dos rectas que no se cruzan en ningún punto del plano reciben el nombre de rectas paralelas. Si se cortan, serán rectas secantes.
Cuando las rectas se cortan, forman 4 regiones llamadas ángulos. Cada ángulo está limitado por dos lados y un vértice. Si las rectas se cortan formando cuatro ángulos iguales, se dice que son rectas perpendiculares.

Medición de ángulos


Ahora continuaremos el estudio de la trigonometría con el concepto de ángulos y sus medidas. Un ángulo q es un conjunto de puntos que consiste de un punto P y dos rayos que se extienden desde P. El punto P es el vértice del ángulo y los rayos son los lados del ángulo. El rayo r, se llama el lado inicial (permanece fijo) y el segundo rayo, rayo s, se llama rayo terminal del ángulo. El ángulo comienza en la posición del lado inicial y gira alrededor del punto final común P en un plano hasta que alcanza su posición terminal.

lado s
terminal

P q

lado
inicial r

Una rotación en el sentido contrario a la manecillas del reloj produce un ángulo positivo (Figura 1) y una rotación en el sentido de las manecillas del reloj produce un ángulo negativo (Figura 2). El tamaño de la rotación en cualquier dirección no está limitada. Dos ángulos diferentes pueden tener los mismos lados iniciales y terminales (Figura 3), estos ángulos se llaman ángulos coterminales.

lado lado inicial
terminal
q
q lado
terminal b
lado inicial a
lado inicial
q ángulo positivo q ángulo negativo a y b ángulos coterminales
Nota: b ángulo positivo
a ángulo negativo
Figura 1 Figura 2 Figura 3

Un ángulo en un sistema de coordenadas rectangular está en la posición normal o estándar si su vértice está en el origen y su lado inicial a lo largo del eje positivo x. Si el lado terminal de un ángulo que está en la posición normal yace sobre un eje coordenado se dice que es un ángulo cuadrantal. Observa la ilustración a continuación.

lado terminal



vértice
lado inicial




Angulo en posición normal Angulo cuadrantal


Así como los segmento se miden en pulgadas, centímetros o pies, los ángulos se miden comúnmente en grados o radianes.


Definición: Medición en grados

Un ángulo formado por la rotación completa tiene una medida de 360 grados (3600). Un ángulo formado por 1/360 de una rotación completa tiene una medida de 1 grado (10). El símbolo “0” denota grados.


Definiciones:

Un ángulo llano es un ángulo que mide 1800. Un ángulo recto es un ángulo que mide 900. Un ángulo agudo es un ángulo que mide menos de 900. Un ángulo obtuso es un ángulo que mide mayor de 900 pero menor que 1800. Un ángulo central es un ángulo cuyo vértice está en el centro del círculo y cuyos lados son radios del círculo.








ángulo llano ángulo recto ángulo agudo ángulo obtuso










ángulo central


Dos ángulos positivos son complementarios si su suma es 900. Dos ángulos son suplementarios si su suma es 1800.


Nota: Los ángulo que miden 00, 900, 1800, 2700 y 3600 son ángulos cuadrantales (ángulos donde el lado terminal yace sobre los ejes x ó y).


Definición: Medición en radianes

Si el vértice de un ángulo q está en el centro de un círculo de radio r>0, y la longitud del arco opuesto a q en la circunferencia es s, entonces q medido en radianes está dado por:


s


r q






Un radián es el tamaño del ángulo central de un círculo que interseca un arco de la misma longitud que el radio del círculo. Observa que s y r deben estar medidas en las mismas unidades. Además, q se usa de dos maneras: para nombrar el ángulo y como medida del ángulo.
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Tema 1:
LINEA RECTA
Definición del paralelismo de rectas
Surigio en 1970 en buenos aires un grupo de musicos muy talentosos, se trata del grupo musical LES LOUTHIERS (que en frances significa conductores de instrumentos).

Llamense rectas paralelas las que se hallan en un mismo plano y no se encuentran por mas que estas se prolonguen.En el plano dos rectas son paralelas si no se intersectan
rectas paralelas
TEOREMA DE THALES
si tres o mas paralelas son cortadas pro dos transversales entonces cualesquier dos segmentos de una de las transversales son proporcionales a dos segmentos correspondientes de la otra transversal.
en terminos de la figura lo que el teorema dice es que AB = A´B´
BC B´C´

POSTULADOS DE LAS RECTAS PARALELAS DE EUCLIDES
Por un punto exterior a una recta se puede trazar una y solo una paralela a una recta. Por ejemplo una paralela a una recta l que psa por un punto a


PROPIEDADES: ¡
“Si dos rectas son perpendiculares a una tercera, entonces son paralelas”
“si una recta es perpendicular a una de las dos rectas paralelas, entonces tambien es perpendicular la otra”
“ si dos rectas situadas en un mismo plano y perpendiculares a una tercera son paralelas”.

CLASIFICACION DE ANGULOS
· Angulo agudo :es quel que mide mas de 0 y menos de 90.
· Angulo recto: es aquel que mide 90 grados.
· Angulo extendido: es aquel que mide 180 grados.
· Angulo obtuso: es aquel que mide mas de 90 y menos de 180.
· Angulo completo: es aquel que mide 360 grados.
· Angulo complementario: son dos angulos, y que cada uno es complemento de otro cuendo su suma es un angulo recto de 90 grados.
· Angulo suplementario: son dos angulos y cada uno es suplemento de otro cuando su suma es de dos angulos rectos de 180.


TEMA 2
TRIANGULOS Y CONGRUENCIA
Suma De Los Angulos De Un Triangulo
Denotaremos por angulo a al angulo a su medida, ab denotara al segmento ab y a su longitud.
A
B C



Criterios de congruencia
Las condiciones minimas que deben cumplir dos triangulos para ser iguales o congruentes se llaman criterios de congruencia. Y son tres:
1. dos triangulos son congruentes si sus lados correspondientes son iguales LLL
AB=A´B´
AC=A´C´
BC=B´C´


2. dos triangulos son congruentes si tienen dos lados correspondientes congruentes y el angulo entre ellos igual. LAL
AB=A´B´
AC=A´C´
A= A´

3. Dos Triangulos Son Tambien Son Congruentes Si Tienen Dos Pares De Angulos
Congruentes Y El Lado Entre Ellos Dos Iguales. ALA
A Á
C
B B



TEMA 3
SEMEJANZA
· Sus angulos correspondientes iguales
· Sus segmentos correspondienetes proporcionales y a esa proporcion se le llama razon de semejanza.

Triangulaciones





perímetro y area en la semejanza de triangulos
Perímetro

ab´=ac´=bc´ = k
a´b a´c b´c

tema 4
MAS SOBRE LOS TRIANGULOS
Rectas y puntos notables de un triangulo
· Medianas
· Mediatrices
· Bisectrices
· Alturas.

Mediatriz: es un segmento de recta que pasa por un punto medio.



mediana: es el segmento trazado desde el punto medio hasta el vértice opuesto al lado en el triangulo.


Atura : es la perpendicular trazada desde el vértice, al lado opeuesto o a su prolongación.




tema 5
RAZONES TRIGONOMETRICAS
Definiciones
Una de las definiciones las relaciones entre uno de los catetos y la hipotenusa de un triangulo rectangulo.
· Seno
· Coseno
· Tangente
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Soy muy aficionado a la fotografía y aquí te presento parte de mi trabajo.
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